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阮一峰:贝叶斯推断及其互联网应用

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linux 发表于 2013-02-25 10:13:55 | 显示全部楼层 |阅读模式

作者: 阮一峰

日期: 2011年8月25日

(一):定理简介

一、什么是贝叶斯推断

贝叶斯推断(Bayesian inference)是一种统计学方法,用来估计统计量的某种性质。

它是贝叶斯定理(Bayes' theorem)的应用。英国数学家托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes)在1763年发表的一篇论文中,首先提出了这个定理。

贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上,也就是说,你可以不需要客观证据,先估计一个值,然后根据推断结果不断修正。正是因为它的主观性太强,曾经遭到许多统计学家的诟病。

贝叶斯推断需要大量的计算,因此历史上很长一段时间,无法得到广泛应用。只有计算机诞生以后,它才获得真正的重视。人们发现,许多统计量是无法事先进行客观判断的,而互联网时代出现的大型数据集,再加上高速运算能力,为验证这些统计量提供了方便,也为应用贝叶斯推断创造了条件,它的威力正在日益显现。

二、贝叶斯定理

要理解贝叶斯推断,必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算"条件概率"的公式。

所谓"条件概率"(Conditional probability),就是指在事件B发生的情况下,事件A发生的概率,用P(A|B)来表示。

根据文氏图,可以很清楚地看到在事件B发生的情况下,事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。

因此,

同理可得,

所以,

这就是条件概率的计算公式。

三、全概率公式

由于后面要用到,所以除了条件概率以外,这里还要推导全概率公式。

假定样本空间S,是两个事件A与A'的和。

上图中,红色部分是事件A,绿色部分是事件A',它们共同构成了样本空间S。

在这种情况下,事件B可以划分成两个部分。

在上一节的推导当中,我们已知

所以,

这就是全概率公式。它的含义是,如果A和A'构成样本空间的一个划分,那么事件B的概率,就等于A和A'的概率分别乘以B的条件概率之和。

将这个公式代入上一节的条件概率公式,就得到了条件概率的另一种写法:

四、贝叶斯推断的含义

对条件概率公式进行变形,可以得到如下形式:

我们把P(A)称为"先验概率"(Prior probability),即在B事件发生之前,我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"(Posterior probability),即在B事件发生之后,我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"(Likelyhood),这是一个调整因子,使得预估概率更接近真实概率。

所以,条件概率可以理解成下面的式子:

  后验概率 = 先验概率 x 调整因子

这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率",然后加入实验结果,看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率",由此得到更接近事实的"后验概率"。

在这里,如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1,意味着"先验概率"被增强,事件A的发生的可能性变大;如果"可能性函数"=1,意味着B事件无助于判断事件A的可能性;如果"可能性函数"<1,意味着"先验概率"被削弱,事件A的可能性变小。

五、【例子】水果糖问题

为了加深对贝叶斯推断的理解,我们看两个例子。

第一个例子。两个一模一样的碗,一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖,二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗,从中摸出一颗糖,发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大?

我们假定,H1表示一号碗,H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的,所以P(H1)=P(H2),也就是说,在取出水果糖之前,这两个碗被选中的概率相同。因此,P(H1)=0.5,我们把这个概率就叫做"先验概率",即没有做实验之前,来自一号碗的概率是0.5。

再假定,E表示水果糖,所以问题就变成了在已知E的情况下,来自一号碗的概率有多大,即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做"后验概率",即在E事件发生之后,对P(H1)的修正。

根据条件概率公式,得到

已知,P(H1)等于0.5,P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率,等于0.75,那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式,

所以,

将数字代入原方程,得到

这表明,来自一号碗的概率是0.6。也就是说,取出水果糖之后,H1事件的可能性得到了增强。

六、【例子】假阳性问题

第二个例子是一个医学的常见问题,与现实生活关系紧密。

已知某种疾病的发病率是0.001,即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病,它的准确率是0.99,即在患者确实得病的情况下,它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%,即在患者没有得病的情况下,它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性,请问他确实得病的可能性有多大?

假定A事件表示得病,那么P(A)为0.001。这就是"先验概率",即没有做试验之前,我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性,那么要计算的就是P(A|B)。这就是"后验概率",即做了试验以后,对发病率的估计。

根据条件概率公式,

用全概率公式改写分母,

将数字代入,

我们得到了一个惊人的结果,P(A|B)约等于0.019。也就是说,即使检验呈现阳性,病人得病的概率,也只是从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的"假阳性",即阳性结果完全不足以说明病人得病。

为什么会这样?为什么这种检验的准确率高达99%,但是可信度却不到2%?答案是与它的误报率太高有关。(【习题】如果误报率从5%降为1%,请问病人得病的概率会变成多少?)

有兴趣的朋友,还可以算一下"假阴性"问题,即检验结果为阴性,但是病人确实得病的概率有多大。然后问自己,"假阳性"和"假阴性",哪一个才是医学检验的主要风险?

(二):过滤垃圾邮件

 

七、什么是贝叶斯过滤器?

垃圾邮件是一种令人头痛的顽症,困扰着所有的互联网用户。

正确识别垃圾邮件的技术难度非常大。传统的垃圾邮件过滤方法,主要有"关键词法"和"校验码法"等。前者的过滤依据是特定的词语;后者则是计算邮件文本的校验码,再与已知的垃圾邮件进行对比。它们的识别效果都不理想,而且很容易规避。

2002年,Paul Graham提出使用"贝叶斯推断"过滤垃圾邮件。他说,这样做的效果,好得不可思议。1000封垃圾邮件可以过滤掉995封,且没有一个误判。

另外,这种过滤器还具有自我学习的功能,会根据新收到的邮件,不断调整。收到的垃圾邮件越多,它的准确率就越高。

八、建立历史资料库

贝叶斯过滤器是一种统计学过滤器,建立在已有的统计结果之上。所以,我们必须预先提供两组已经识别好的邮件,一组是正常邮件,另一组是垃圾邮件。

我们用这两组邮件,对过滤器进行"训练"。这两组邮件的规模越大,训练效果就越好。Paul Graham使用的邮件规模,是正常邮件和垃圾邮件各4000封。

"训练"过程很简单。首先,解析所有邮件,提取每一个词。然后,计算每个词语在正常邮件和垃圾邮件中的出现频率。比如,我们假定"sex"这个词,在4000封垃圾邮件中,有200封包含这个词,那么它的出现频率就是5%;而在4000封正常邮件中,只有2封包含这个词,那么出现频率就是0.05%。(【注释】如果某个词只出现在垃圾邮件中,Paul Graham就假定,它在正常邮件的出现频率是1%,反之亦然。随着邮件数量的增加,计算结果会自动调整。)

有了这个初步的统计结果,过滤器就可以投入使用了。

九、贝叶斯过滤器的使用过程

现在,我们收到了一封新邮件。在未经统计分析之前,我们假定它是垃圾邮件的概率为50%。(【注释】有研究表明,用户收到的电子邮件中,80%是垃圾邮件。但是,这里仍然假定垃圾邮件的"先验概率"为50%。)

我们用S表示垃圾邮件(spam),H表示正常邮件(healthy)。因此,P(S)和P(H)的先验概率,都是50%。

然后,对这封邮件进行解析,发现其中包含了sex这个词,请问这封邮件属于垃圾邮件的概率有多高?

我们用W表示"sex"这个词,那么问题就变成了如何计算P(S|W)的值,即在某个词语(W)已经存在的条件下,垃圾邮件(S)的概率有多大。

根据条件概率公式,马上可以写出

公式中,P(W|S)和P(W|H)的含义是,这个词语在垃圾邮件和正常邮件中,分别出现的概率。这两个值可以从历史资料库中得到,对sex这个词来说,上文假定它们分别等于5%和0.05%。另外,P(S)和P(H)的值,前面说过都等于50%。所以,马上可以计算P(S|W)的值:

因此,这封新邮件是垃圾邮件的概率等于99%。这说明,sex这个词的推断能力很强,将50%的"先验概率"一下子提高到了99%的"后验概率"。

十、联合概率的计算

做完上面一步,请问我们能否得出结论,这封新邮件就是垃圾邮件?

回答是不能。因为一封邮件包含很多词语,一些词语(比如sex)说这是垃圾邮件,另一些说这不是。你怎么知道以哪个词为准?

Paul Graham的做法是,选出这封信中P(S|W)最高的15个词,计算它们的联合概率。(【注释】如果有的词是第一次出现,无法计算P(S|W),Paul Graham就假定这个值等于0.4。因为垃圾邮件用的往往都是某些固定的词语,所以如果你从来没见过某个词,它多半是一个正常的词。)

所谓联合概率,就是指在多个事件发生的情况下,另一个事件发生概率有多大。比如,已知W1和W2是两个不同的词语,它们都出现在某封电子邮件之中,那么这封邮件是垃圾邮件的概率,就是联合概率。

在已知W1和W2的情况下,无非就是两种结果:垃圾邮件(事件E1)或正常邮件(事件E2)。

其中,W1、W2和垃圾邮件的概率分别如下:

如果假定所有事件都是独立事件(【注释】严格地说,这个假定不成立,但是这里可以忽略),那么就可以计算P(E1)和P(E2):

又由于在W1和W2已经发生的情况下,垃圾邮件的概率等于下面的式子:

将P(S)等于0.5代入,得到

将P(S|W1)记为P1,P(S|W2)记为P2,公式就变成

这就是联合概率的计算公式。如果你不是很理解,点击这里查看更多的解释。

十一、最终的计算公式

将上面的公式扩展到15个词的情况,就得到了最终的概率计算公式:

一封邮件是不是垃圾邮件,就用这个式子进行计算。这时我们还需要一个用于比较的门槛值。Paul Graham的门槛值是0.9,概率大于0.9,表示15个词联合认定,这封邮件有90%以上的可能属于垃圾邮件;概率小于0.9,就表示是正常邮件。

有了这个公式以后,一封正常的信件即使出现sex这个词,也不会被认定为垃圾邮件了。

(三):拼写检查

使用Google的时候,如果你拼错一个单词,它会提醒你正确的拼法。

比如,你不小心输入了seperate。

Google告诉你,这个词是不存在的,正确的拼法是separate。

这就叫做"拼写检查"(spelling corrector)。有好几种方法可以实现这个功能,Google使用的是基于贝叶斯推断的统计学方法。这种方法的特点就是快,很短的时间内处理大量文本,并且有很高的精确度(90%以上)。Google的研发总监Peter Norvig,写过一篇著名的文章,解释这种方法的原理。

下面我们就来看看,怎么利用贝叶斯推断,实现"拼写检查"。其实很简单,一小段代码就够了。

一、原理

用户输入了一个单词。这时分成两种情况:拼写正确,或者拼写不正确。我们把拼写正确的情况记做c(代表correct),拼写错误的情况记做w(代表wrong)。

所谓"拼写检查",就是在发生w的情况下,试图推断出c。从概率论的角度看,就是已知w,然后在若干个备选方案中,找出可能性最大的那个c,也就是求下面这个式子的最大值。

  P(c|w)

根据贝叶斯定理:

  P(c|w) = P(w|c) * P(c) / P(w)

对于所有备选的c来说,对应的都是同一个w,所以它们的P(w)是相同的,因此我们求的其实是

  P(w|c) * P(c)

的最大值。

P(c)的含义是,某个正确的词的出现"概率",它可以用"频率"代替。如果我们有一个足够大的文本库,那么这个文本库中每个单词的出现频率,就相当于它的发生概率。某个词的出现频率越高,P(c)就越大。

P(w|c)的含义是,在试图拼写c的情况下,出现拼写错误w的概率。这需要统计数据的支持,但是为了简化问题,我们假设两个单词在字形上越接近,就有越可能拼错,P(w|C)就越大。举例来说,相差一个字母的拼法,就比相差两个字母的拼法,发生概率更高。你想拼写单词hello,那么错误拼成hallo(相差一个字母)的可能性,就比拼成haallo高(相差两个字母)。

所以,我们只要找到与输入单词在字形上最相近的那些词,再在其中挑出出现频率最高的一个,就能实现 P(w|c) * P(c) 的最大值。

二、算法

最简单的算法,只需要四步就够了。

第一步,建立一个足够大的文本库。

网上有一些免费来源,比如古登堡计划Wiktionary英国国家语料库等等。

第二步,取出文本库的每一个单词,统计它们的出现频率。

第三步,根据用户输入的单词,得到其所有可能的拼写相近的形式。

所谓"拼写相近",指的是两个单词之间的"编辑距离"(edit distance)不超过2。也就是说,两个词只相差1到2个字母,只通过----删除、交换、更改和插入----这四种操作中的一种,就可以让一个词变成另一个词。

第四步,比较所有拼写相近的词在文本库的出现频率。频率最高的那个词,就是正确的拼法。

根据Peter Norvig的验证,这种算法的精确度大约为60%-70%(10个拼写错误能够检查出6个。)虽然不令人满意,但是能够接受。毕竟它足够简单,计算速度极快。(本文的最后部分,将详细讨论这种算法的缺陷在哪里。)

三、代码

我们使用Python语言,实现上一节的算法。

第一步,把网上下载的文本库保存为big.txt文件。这步不需要编程。

第二步,加载Python的正则语言模块(re)和collections模块,后面要用到。

  import re, collections

第三步,定义words()函数,用来取出文本库的每一个词。

  def words(text): return re.findall('[a-z]+', text.lower())

lower()将所有词都转成小写,避免因为大小写不同,而被算作两个词。

第四步,定义一个train()函数,用来建立一个"字典"结构。文本库的每一个词,都是这个"字典"的键;它们所对应的值,就是这个词在文本库的出现频率。

  def train(features):

    model = collections.defaultdict(lambda: 1)

    for f in features:

      model[f] += 1

    return model

collections.defaultdict(lambda: 1)的意思是,每一个词的默认出现频率为1。这是针对那些没有出现在文本库的词。如果一个词没有在文本库出现,我们并不能认定它就是一个不存在的词,因此将每个词出现的默认频率设为1。以后每出现一次,频率就增加1。

第五步,使用words()和train()函数,生成上一步的"词频字典",放入变量NWORDS。

  NWORDS = train(words(file('big.txt').read()))

第六步,定义edits1()函数,用来生成所有与输入参数word的"编辑距离"为1的词。

  alphabet = 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyz'

  def edits1(word):

    splits = [(word[:i], word[i:]) for i in range(len(word) + 1)]

    deletes = [a + b[1:] for a, b in splits if b]

    transposes = [a + b[1] + b[0] + b[2:] for a, b in splits if len(b)>1]

    replaces = [a + c + b[1:] for a, b in splits for c in alphabet if b]

    inserts = [a + c + b for a, b in splits for c in alphabet]

    return set(deletes + transposes + replaces + inserts)

edit1()函数中的几个变量的含义如下:

  (1)splits:将word依次按照每一位分割成前后两半。比如,'abc'会被分割成 [('', 'abc'), ('a', 'bc'), ('ab', 'c'), ('abc', '')] 。

  (2)beletes:依次删除word的每一位后、所形成的所有新词。比如,'abc'对应的deletes就是 ['bc', 'ac', 'ab'] 。

  (3)transposes:依次交换word的邻近两位,所形成的所有新词。比如,'abc'对应的transposes就是 ['bac', 'acb'] 。

  (4)replaces:将word的每一位依次替换成其他25个字母,所形成的所有新词。比如,'abc'对应的replaces就是 ['abc', 'bbc', 'cbc', ... , 'abx', ' aby', 'abz' ] ,一共包含78个词(26 × 3)。

  (5)inserts:在word的邻近两位之间依次插入一个字母,所形成的所有新词。比如,'abc' 对应的inserts就是['aabc', 'babc', 'cabc', ..., 'abcx', 'abcy', 'abcz'],一共包含104个词(26 × 4)。

 

最后,edit1()返回deletes、transposes、replaces、inserts的合集,这就是与word"编辑距离"等于1的所有词。对于一个n位的词,会返回54n+25个词。

第七步,定义edit2()函数,用来生成所有与word的"编辑距离"为2的词语。

  def edits2(word):

    return set(e2 for e1 in edits1(word) for e2 in edits1(e1))

但是这样的话,会返回一个 (54n+25) * (54n+25) 的数组,实在是太大了。因此,我们将edit2()改为known_edits2()函数,将返回的词限定为在文本库中出现过的词。

  def known_edits2(word):

    return set(e2 for e1 in edits1(word) for e2 in edits1(e1) if e2 in NWORDS)

第八步,定义correct()函数,用来从所有备选的词中,选出用户最可能想要拼写的词。

  def known(words): return set(w for w in words if w in NWORDS)

  def correct(word):

    candidates = known([word]) or known(edits1(word)) or known_edits2(word) or [word]

    return max(candidates, key=NWORDS.get)

我们采用的规则为:

  (1)如果word是文本库现有的词,说明该词拼写正确,直接返回这个词;

  (2)如果word不是现有的词,则返回"编辑距离"为1的词之中,在文本库出现频率最高的那个词;

  (3)如果"编辑距离"为1的词,都不是文本库现有的词,则返回"编辑距离"为2的词中,出现频率最高的那个词;

  (4)如果上述三条规则,都无法得到结果,则直接返回word。

至此,代码全部完成,合起来一共21行。

  import re, collections

  def words(text): return re.findall('[a-z]+', text.lower())

  def train(features):

    model = collections.defaultdict(lambda: 1)

    for f in features:

      model[f] += 1

    return model

  NWORDS = train(words(file('big.txt').read()))

  alphabet = 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyz'

  def edits1(word):

    splits = [(word[:i], word[i:]) for i in range(len(word) + 1)]

    deletes = [a + b[1:] for a, b in splits if b]

    transposes = [a + b[1] + b[0] + b[2:] for a, b in splits if len(b)>1]

    replaces = [a + c + b[1:] for a, b in splits for c in alphabet if b]

    inserts = [a + c + b for a, b in splits for c in alphabet]

    return set(deletes + transposes + replaces + inserts)

  def known_edits2(word):

    return set(e2 for e1 in edits1(word) for e2 in edits1(e1) if e2 in NWORDS)

  def known(words): return set(w for w in words if w in NWORDS)

  def correct(word):

    candidates = known([word]) or known(edits1(word)) or known_edits2(word) or [word]

    return max(candidates, key=NWORDS.get)

使用方法如下:

  >>> correct('speling')

  'spelling'

  >>> correct('korrecter')

  'corrector'

四、缺陷

我们使用的这种算法,有一些缺陷,如果投入生产环境,必须在这些方面加入改进。

(1)文本库必须有很高的精确性,不能包含拼写错误的词。

如果用户输入一个错误的拼法,文本库恰好包含了这种拼法,它就会被当成正确的拼法。

(2)对于不包含在文本库中的新词,没有提出解决办法。

如果用户输入一个新词,这个词不在文本库之中,就会被当作错误的拼写进行纠正。

(3)程序返回的是"编辑距离"为1的词,但某些情况下,正确的词的"编辑距离"为2。

比如,用户输入reciet,会被纠正为recite(编辑距离为1),但用户真正想要输入的词是receipt(编辑距离为2)。也就是说,"编辑距离"越短越正确的规则,并非所有情况下都成立。

(4)有些常见拼写错误的"编辑距离"大于2。

这样的错误,程序无法发现。下面就是一些例子,每一行前面那个词是正确的拼法,后面那个则是常见的错误拼法。

purple perpul
curtains courtens
minutes muinets
successful sucssuful
inefficient ineffiect
availability avaiblity
dissension desention
unnecessarily unessasarily
necessary nessasary
unnecessary unessessay
night nite
assessing accesing
necessitates nessisitates

(5)用户输入的词的拼写正确,但是其实想输入的是另一个词。

比如,用户输入是where,这个词拼写正确,程序不会纠正。但是,用户真正想输入的其实是were,不小心多打了一个h。

(6)程序返回的是出现频率最高的词,但用户真正想输入的是另一个词。

比如,用户输入ther,程序会返回the,因为它的出现频率最高。但是,用户真正想输入的其实是their,少打了一个i。也就是说,出现频率最高的词,不一定就是用户想输入的词。

(7)某些词有不同的拼法,程序无法辨别。

比如,英国英语和美国英语的拼法不一致。英国用户输入'humur',应该被纠正为'humour';美国用户输入'humur',应该被纠正为'humor'。但是,我们的程序会统一纠正为'humor'。

(完)

VIA http://www.ruanyifeng.com/ 

DeadFire 发表于 2013-02-25 16:38:21 | 显示全部楼层

贝叶斯分类算法得好好学学去了我。

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